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录像机b = 1.45 × 10 2

作者:金祥棋牌    来源:未知    发布时间:2020-03-15 01:38    浏览量:
§2 录 像 机 计 数 器 的 用 途 [问题的提出] 问题的提出] 老式的录像机上都有计数器,而没有计时器,一些录音机也有类似的情况.这种计 数器有什么用呢,让我们从这样一个问题开始:一盘标明 180 分钟的录像带从头转到尾, 用时 184 分钟,计数器读数从 0000 变到 6061.在某一次使用中录像带已经转过大半,计 数器读数为 4450,问剩下的一段还能否录下一小时的节目. 如果计数器读数随着录像带的转动是均匀增加的,那么由于 4450 已经显著地超过 6061 的三分之二,即录像带已经转过两小时多,所以显然不能再录一小时的节目.但是, 只要你耐心地观察一下就会发现,读数并非均匀增长,而是先快后慢,这样,回答上面 的问题就需要知道计数器读数与录像带转过的时间之间的关系.本节的目的是要建立表 述这个关系的数学模型. [问题的分析] 问题的分析] 计数器的读数是怎样变化的,它的增长为什么先快后慢,回答这些问题需要了解计 数器的简单工作原理(图 1). 录像带有两个轮盘,一开始录像带缠满的那个轮盘不妨称为左轮盘,另一个为右轮 盘.计数器与右轮盘的轴相连,其读数与右轮转动的圈数成正比.开始时右轮盘是空的, 读数为 0000,随着带子从左向右运动,右轮盘半径增加,使得转动越来越慢,计数器读 第 24 页 数的增长也就越来越慢. 在录像带的转动过程中,与微型电机相连的主动轮的转速当然是不变的,录像带靠 压轮压在主动轮上,所以录像带的运动速度(线速度)为常数(想想看,如果录像带通过磁 头时的速度不是常数,我们看到的画面会是怎样的),而右轮盘随着半径的增加,其转速 当然越来越慢. 我们要找出计数器读数(记作 n )与录像带转过时间(记作 t )之间的关系, 即建立一个 数学模型 t = f (n) . [模型的假设] 模型的假设] 根据以上分析作如下的假设: 1.录像带的线.计数器读数 n 与右轮盘转的圈数(记作 m )成正比, m = kn , k 为比例系数; 3.录像带的厚度(加上缠绕时两圈间的空隙)是常数 w ,空右轮盘半径为 r ; 4.初始时刻 t = 0 时, n = 0 。 [模型的建立] 模型的建立] 建立 t 与 n 之间的关系有多种途径,一种很自然 的想法是计算缠绕在右轮盘上的录像带的长度. 图 2 时间 t 与计数器 读数 n 的关系 当右轮盘转到第 i 圈时其半径为 r + wi ,周长为 2π ( r + wi ) , m 圈的总长度恰等于 录像带转过的长度 vt ,即 考虑到 w 比 r 小得多,并代人 m = kn, 容易算出 t = 这就是我们需要的数学模型. πwk 2 v n2 + 2πrk n v (2) 另一种更简单的办法是考察右轮盘面积的增加,它应该等于录像带转过的长度与厚 度的乘积,即 第 25 页 由此同样可以得到(2)式. 读者还可以考虑如何用微积分的办法得到(2)式. 思考 对(1),(3)式仔细推算一下,会发现由(1)得到的结果与(2)式有微小差别, 你能解释这个差别吗? 要利用模型(2)由 n 计算 t ,必须先确定其中的参数 r , w, v, k . 一种确定参数的办法是 进行测量或调查,你能设计测量的办法吗? 实际上,从建模的目的看,我们并不需要知道这 4 个参数的每一个,如果把 (2)式 改记作 那么只需要确定 a, b 两个参数即可进行, n 和 t 之间的计算. (4)式表明, t 和 n 的关系不是线性的(这是通过观察和分析就知道的),而是二次的 (这只能通过数学建模确定).n 与 t 的这种函数关系可描绘成图 2 的曲线,直观地表明随 着时间 t 的增加,计数器读数 n 的增长是越来越慢的. 参数估计 理论 上,有两 组 (t , n) 数 据就能 算出 a, b ( 题 目中 已经 给出一 组: t = 184, n = 6061 ,所以再测试一组数据即可).而实际上,由于测试有误差,一般应该 用足够多的测试数据作拟合.为此,用这盘录像带测得了一组数据,如表 2. 我们用其中一部分数据( t = 0,20,40,...,160,184 )按照最小二乘法估计算出 a, b ,得到 a = 2.61 × 10 6 , b = 1.45 × 10 2 ,代人(4)式即得到需要的数学模型. 模型的检验] [模型的检验] 上面得到的模型除了要用参与拟合的数据作统计检验外(统计检验 第 26 页 将在第 10 章作简单介绍),还应该用未参加建模的数据(如用表 2 中的另一部分数据 t = 10,30,...,170 )进行检验.可以发现,结果也相当好. [模型的应用] 对于本节开始提出的问题,当 n=4450 时,由(4)式算出 t = 116.4 分 模型的应用] 钟,剩下的一段带子尚可录下 184 116.4 = 67.6 分钟的节目.当然,这个问题由上面的 实测数据就能回答( n = 4450 )时 t 不到 120 分钟,显然还可录下 1 小时节目),但是建立 数学模型(4)式的意义在于,不仅在使用这盘录像带时,对于任意的计数器读数 n 可以算 出时间 t ,而且揭示了“ t 与 n 之间呈二次函数关系”这个普遍规律.当录像带型号改变 (或其它因素变化)时,只需再测量一批数据来估计参数 a, b ,模型(4)式仍然能用. 评注 从提出日常生活中的一个实际问题人手,通过观察计数器读数先快后慢的现 象,了解它的工作原理,在相当合理的假设下,用几种简单的方法建立了计数器读数与 录像带转过时间的数学模型,并且包含了参数估计、模型检验和应用等内容,是数学建 模全过程的一个典型示例. 第 27 页 金祥棋牌 金祥棋牌app 金祥棋牌手机版官网 金祥棋牌游戏大厅 金祥棋牌官方下载 金祥棋牌安卓免费下载 金祥棋牌手机版 金祥棋牌大全下载安装 金祥棋牌手机免费下载 金祥棋牌官网免费下载 手机版金祥棋牌 金祥棋牌安卓版下载安装 金祥棋牌官方正版下载 金祥棋牌app官网下载 金祥棋牌安卓版 金祥棋牌app最新版 金祥棋牌旧版本 金祥棋牌官网ios 金祥棋牌我下载过的 金祥棋牌官方最新 金祥棋牌安卓 金祥棋牌每个版本 金祥棋牌下载app 金祥棋牌手游官网下载 老版金祥棋牌下载app 金祥棋牌真人下载 金祥棋牌软件大全 金祥棋牌ios下载 金祥棋牌ios苹果版 金祥棋牌官网下载 金祥棋牌下载老版本 最新版金祥棋牌 金祥棋牌二维码 老版金祥棋牌 金祥棋牌推荐 金祥棋牌苹果版官方下载 金祥棋牌苹果手机版下载安装 金祥棋牌手机版 金祥棋牌怎么下载

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